sinx 的 n 次方的积分，核心就是华里士公式也就是 Wallis 公式，主要分为定积分区间零到二分之派的递推公式，同时配套不定积分的分部积分递推公式，这个公式是高数里面三角函数高次幂积分必考内容，原理是依靠分部积分法推导出递推关系，把高次幂逐步降次，一直降到一次幂或者零次幂，最终算出积分结果，之所以要掌握这个公式，是因为当 n 比较大的时候，反复分部积分计算非常繁琐，递推公式可以快速降次，减少计算出错概率，我们可以按照学习流程，第一步掌握分部积分推导递推关系式，第二步区分 n 是奇数和 n 是偶数两种结果，第三步记住零到二分之派区间华里士结论，第四步拓展不定积分递推形式，最终熟练使用 sinx 的 n 次方的积分公式完成计算。
定积分 零到二分之派 华里士公式
记 I n 等于 积分从 0 到二分之派 (sinx) 的 n 次方 dx
递推关系 I n 等于 (n 减 1)/n 乘以 I n 减 2
| n 类型 | 积分结果 |
|---|---|
| n 为正偶数 | I n 等于 (n 减 1)/n 乘以 (n 减 3)/(n 减 2) 乘以 一直乘到 二分之一 乘以 二分之派 |
| n 为正奇数 | I n 等于 (n 减 1)/n 乘以 (n 减 3)/(n 减 2) 乘以 一直乘到 三分之二 乘以 1 |
举例
n 等于 4 偶数 I4 等于 3/4 乘以 1/2 乘以 二分之派等于 3 派 / 16
n 等于 3 奇数 I3 等于 2/3 乘以 1 等于 2/3
不定积分递推公式
不定积分 ∫(sinx) 的 n 次方 dx 递推式
I n 等于 负 (sinx) 的 (n 减 1) 次方 cosx 除以 n 加上 (n 减 1)/n 乘以 I n 减 2
这个递推公式是分部积分推导得到，把 (sinx) n 次方拆成 (sinx) n 减 1 次方 乘以 sinx，令 u 等于 (sinx) n 减 1 次方 dv 等于 sinx dx，分部积分之后整理就得到递推式，一直降次，直到 n 等于 1 或者 n 等于 0，n 等于 1 的时候 ∫sinx dx 等于负 cosx 加 C，n 等于 0 的时候 ∫1 dx 等于 x 加 C。
深度推导思路
分部积分公式 ∫u dv 等于 uv 减∫v du
u 等于 (sinx) n 减 1 次方
du 等于 (n 减 1)(sinx) n 减 2 次方 cosx dx
dv 等于 sinx dx
v 等于负 cosx
代入分部积分，再利用 cos 平方等于 1 减 sin 平方，拆分积分项，合并同类项之后，就可以解出 I n 的递推表达式，这个推导是考试证明题常考题型。
拓展补充
华里士公式同样适用于 cosx 的 n 次方在零到二分之派定积分，也就是积分零到二分之派 (cosx) n 次方 dx 结果和 sinx 的 n 次方的积分公式完全相等，这个是区间对称性带来的性质。
注意区间必须是 0 到二分之派，如果积分区间改变，不能直接套用华里士公式，需要换元或者拆分区间。
易错点提醒
1 偶数最后乘二分之派，奇数最后乘 1，很多同学奇数也乘二分之派，属于高频错误
2 不定积分递推最后不要忘记加上积分常数 C
3 n 必须是大于等于 2 的正整数，n 等于 0 和 n 等于 1 是终止项，不再继续递推
4 华里士公式只针对定积分 0 到二分之派，不要直接套用到任意区间不定积分
【常见问题】
问题 1 sinx 的 n 次方的积分公式里面 n 是偶数和奇数结果差别是什么
回答 1 sinx 的 n 次方的积分公式，n 为偶数最后一项要乘以二分之派，n 为奇数最后一项是乘以 1，这是 sinx 的 n 次方的积分公式最核心区分点。
问题 2 sinx 的 n 次方的积分公式是怎么推导出来的
回答 2 sinx 的 n 次方的积分公式依靠分部积分法推导，拆分 sinx 高次幂，利用三角恒等式化简得到递推关系，是 sinx 的 n 次方的积分公式的底层原理。
问题 3 sinx 的 n 次方的积分公式可以直接套用到任意积分区间吗
回答 3 sinx 的 n 次方的积分公式中华里士版本只能用于 0 到二分之派定积分，不能直接套用到任意区间，不定积分递推式才可以通用，使用 sinx 的 n 次方的积分公式要区分定积分和不定积分。
问题 4 sinx 的 n 次方的积分公式和 cosx 的 n 次方积分结果一样吗
回答 4 在零到二分之派区间，sinx 的 n 次方的积分公式得到的结果和 cosx 的 n 次方定积分结果相等，是这个区间特殊性质，属于 sinx 的 n 次方的积分公式拓展考点。
【免责申明】
本文为高等数学学习参考，公式为标准华里士递推公式，不同教材书写形式基本一致，解题请结合课本和任课老师要求，本内容不替代正式教材，不作为考试唯一标准答案。
