前n项求和公式

【前n项求和公式】在数学中，数列的前n项求和是一个基础而重要的概念。无论是等差数列、等比数列还是其他类型的数列，掌握它们的前n项求和公式有助于快速计算和分析数列的变化规律。以下是对常见数列前n项求和公式的总结。

一、等差数列前n项和

定义：一个数列中，每一项与前一项的差为常数，称为等差数列。

通项公式：$ a_n = a_1 + (n - 1)d $

前n项和公式：

$$ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] $$

或

$$ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} $$

二、等比数列前n项和

定义：一个数列中，每一项与前一项的比为常数，称为等比数列。

通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

前n项和公式：

当 $ r \neq 1 $ 时，

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

当 $ r = 1 $ 时，

$$ S_n = n \cdot a_1 $$

三、自然数前n项和

定义：自然数序列 $ 1, 2, 3, ..., n $ 的前n项和。

公式：

$$ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $$

四、平方数前n项和

定义：数列 $ 1^2, 2^2, 3^2, ..., n^2 $ 的前n项和。

公式：

$$ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $$

五、立方数前n项和

定义：数列 $ 1^3, 2^3, 3^3, ..., n^3 $ 的前n项和。

公式：

$$ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $$

六、常用数列前n项和公式对比表

数列类型	通项公式	前n项和公式
等差数列	$ a_n = a_1 + (n - 1)d $	$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $
等比数列	$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $	$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（r≠1）
自然数	—	$ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} $
平方数	—	$ S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $
立方数	—	$ S_n = \left( \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2 $

通过以上总结可以看出，不同类型的数列有不同的求和方式，掌握这些公式有助于在实际问题中快速进行数值计算和数学建模。同时，理解公式的推导过程也有助于提升数学思维能力。