在数学学习中，三角函数是一个非常重要的基础内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握好三角函数的基本公式，不仅能提高解题效率，还能加深对数学规律的理解。本文将系统整理和介绍常见的三角函数基本公式，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本定义
在直角坐标系中，设一个角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- 正弦函数：sinα = y
- 余弦函数：cosα = x
- 正切函数：tanα = y/x（x ≠ 0）
- 余切函数：cotα = x/y（y ≠ 0）
- 正割函数：secα = 1/x（x ≠ 0）
- 余割函数：cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、同角三角函数关系式
这些公式是三角函数中最基础的恒等式，用于相互转换不同三角函数的值。
1. 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
2. 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒数关系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
三、诱导公式（角度变换）
这些公式用于将任意角转化为锐角进行计算。
1. 周期性：
- sin(α + 2π) = sinα
- cos(α + 2π) = cosα
- tan(α + π) = tanα
2. 奇偶性：
- sin(-α) = -sinα
- cos(-α) = cosα
- tan(-α) = -tanα
3. 互补角：
- sin(π/2 - α) = cosα
- cos(π/2 - α) = sinα
- tan(π/2 - α) = cotα
4. 补角公式：
- sin(π - α) = sinα
- cos(π - α) = -cosα
- tan(π - α) = -tanα
四、和差角公式
这些公式用于计算两个角的和或差的三角函数值。
1. 正弦和差公式：
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
2. 余弦和差公式：
- cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
3. 正切和差公式：
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
五、倍角公式
用于计算一个角的两倍或三倍的三角函数值。
1. 正弦倍角公式：
- sin2α = 2sinα cosα
- sin3α = 3sinα - 4sin³α
2. 余弦倍角公式：
- cos2α = cos²α - sin²α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos2α = 1 - 2sin²α
- cos3α = 4cos³α - 3cosα
3. 正切倍角公式：
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
- tan3α = (3tanα - tan³α) / (1 - 3tan²α)
六、半角公式
用于将一个角的一半表示为三角函数的形式。
1. 正弦半角公式：
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. 余弦半角公式：
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. 正切半角公式：
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
- tan(α/2) = sinα / (1 + cosα)
七、积化和差与和差化积公式
这些公式常用于简化三角函数的乘积或和差形式。
1. 积化和差：
- sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2
- cosα cosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2
- sinα sinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2
2. 和差化积：
- sinα + sinβ = 2sin[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
- sinα - sinβ = 2cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
- cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
- cosα - cosβ = -2sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
八、反三角函数简要说明
反三角函数是三角函数的逆函数，用于求解已知三角函数值对应的角。常见的有：
- arcsin(x)：返回以弧度表示的角，其正弦值为x
- arccos(x)：返回以弧度表示的角，其余弦值为x
- arctan(x)：返回以弧度表示的角，其正切值为x
结语
三角函数的基本公式是数学学习中的重要工具，掌握它们不仅有助于解题，还能提升逻辑思维能力和数学素养。希望本文能为你的学习提供帮助，也鼓励大家多加练习，灵活运用这些公式，提高自己的数学能力。
