【复数z的平方怎么算】在数学中，复数是形如 $ z = a + bi $ 的数，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。计算复数的平方是常见的运算之一，掌握这一方法有助于理解复数的代数性质和几何意义。
一、复数平方的基本方法
复数 $ z = a + bi $ 的平方可以通过展开公式来计算：
$$
z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2
$$
整理后得到：
$$
z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi
$$
因此，复数的平方可以分解为实部和虚部两部分。
二、总结与步骤
以下是计算复数 $ z = a + bi $ 平方的详细步骤：
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 写出复数形式 | $ z = a + bi $ |
| 2 | 展开平方公式 | $ (a + bi)^2 $ |
| 3 | 展开乘法 | $ a^2 + 2abi + (bi)^2 $ |
| 4 | 计算 $ i^2 $ | $ i^2 = -1 $，所以 $ (bi)^2 = -b^2 $ |
| 5 | 合并同类项 | 得到 $ z^2 = (a^2 - b^2) + 2abi $ |
三、示例演示
以复数 $ z = 3 + 4i $ 为例：
- 实部 $ a = 3 $
- 虚部 $ b = 4 $
计算其平方：
$$
z^2 = (3 + 4i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i
$$
结果为：$ z^2 = -7 + 24i $
四、表格总结
| 复数 | 平方结果 | 实部 | 虚部 |
| $ 1 + i $ | $ 2i $ | 0 | 2 |
| $ 2 + 3i $ | $ -5 + 12i $ | -5 | 12 |
| $ -1 + 2i $ | $ -3 - 4i $ | -3 | -4 |
| $ 3 + 4i $ | $ -7 + 24i $ | -7 | 24 |
通过以上方法和实例，可以清晰地理解如何计算复数的平方。掌握了这个基础运算，有助于进一步学习复数的乘法、除法以及极坐标表示等更复杂的概念。
