等比数列公式

【等比数列公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”，通常用字母 $ q $ 表示。等比数列广泛应用于数学、物理、金融等多个领域，掌握其基本公式对于理解和应用这一数列至关重要。

以下是对等比数列相关公式的一个总结，便于快速查阅和理解。

一、基本定义

- 首项：$ a_1 $

- 公比：$ q $（$ q \neq 0 $）

- 第 $ n $ 项：$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $

二、常用公式总结

公式名称	公式表达式	说明
第 $ n $ 项公式	$ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $	用于计算数列中的任意一项
前 $ n $ 项和公式	$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $（当 $ q \neq 1 $）	计算前 $ n $ 项的总和
无穷等比数列和	$ S = \frac{a_1}{1 - q} $（当 $	q	< 1 $）	当公比绝对值小于1时，数列收敛于该值

三、典型例题解析

例题1：已知等比数列首项为2，公比为3，求第5项。

解：

根据公式 $ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} $，

$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $

例题2：已知等比数列首项为4，公比为1/2，求前4项的和。

解：

使用公式 $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} $，

$ S_4 = 4 \cdot \frac{1 - (1/2)^4}{1 - 1/2} = 4 \cdot \frac{1 - 1/16}{1/2} = 4 \cdot \frac{15/16}{1/2} = 4 \cdot \frac{15}{8} = \frac{60}{8} = 7.5 $

四、注意事项

- 若公比 $ q = 1 $，则所有项都相等，此时前 $ n $ 项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $

- 当 $ q > 1 $ 时，等比数列是发散的，无法求出无穷项的和

- 在实际应用中，注意单位和变量的合理选择

通过以上内容的整理，可以清晰地了解等比数列的基本概念和关键公式，帮助在学习或工作中更高效地应用这些知识。