在数学的世界里，韦达定理无疑是一个璀璨的明珠，它揭示了方程根与系数之间的深刻联系。当我们讨论二次方程时，韦达定理能够帮助我们轻松地找到两个根的和与积，而这些信息往往能为我们解决更复杂的问题提供线索。
现在，让我们聚焦于一个特定的问题：已知二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其两个实数解分别为x₁和x₂，求|x₁-x₂|的表达式。根据韦达定理，我们知道x₁+x₂=-b/a且x₁x₂=c/a。那么，如何利用这些已知条件来表示|x₁-x₂|呢？
首先，我们可以利用平方差公式(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂。将韦达定理中的关系代入后得到：
(x₁-x₂)²=[(-b/a)²]-4(c/a)=(b²/a²)-(4c/a)=(b²-4ac)/a²。
因此，|x₁-x₂|=√((b²-4ac)/a²)=|b|/a·√(b²-4ac)，当且仅当判别式Δ=b²-4ac≥0时成立。
这个结果不仅展示了韦达定理的强大之处，也强调了判别式对于确定方程根性质的重要性。当Δ>0时，方程有两个不同的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；而当Δ<0时，则意味着方程没有实数根。
通过以上推导过程可以看出，在处理涉及二次方程根间距的问题时，合理运用韦达定理可以极大地简化计算步骤。同时，这也提醒我们在实际应用中不仅要关注最终的答案，还要重视中间过程的理解与掌握，这样才能真正提升自己的数学素养。
